Основы алгебры Примеры

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для ${(- 9 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем ${(- 9 x + 1)}^{2}$ в виде $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ .

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

Этап 1.2.1.2

Развернем $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

Этап 1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

Этап 1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.3

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.5

Умножим $- 9 x$ на $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

Этап 1.2.1.3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$81 x^{2} - 18 x + 1$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9}{81}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{9}$

Этап 1.2.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{9}$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $81$ .

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Сократим общий множитель $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 1 - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e = 0$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ .

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{9}, 0)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $81$ .

$\frac{1}{324}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{1}{9}$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{324}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{9}, 0)$

Фокус: $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{9}$

Директриса: $y = - \frac{1}{324}$

Этап 10