Основы алгебры Примеры

$x + \frac{x}{| x |}$

Этап 1

Найдем область определения $y = x + \frac{x}{| x |}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) + \frac{- 2}{| - 2 |}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 2) = - 2 + \frac{- 2}{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f (- 2) = - 2 - 1$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = - 3$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ . В данном случае получится точка $(- 1, - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = (- 1) + \frac{- 1}{| - 1 |}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ . В данном случае получится точка $(1, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) + \frac{1}{| 1 |}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = x + \frac{x}{| x |}$ . В данном случае получится точка $(2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = (2) + \frac{2}{| 2 |}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{2}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $2$ на $2$ .

$f (2) = 2 + 1$

Этап 2.4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = 3$

Этап 2.4.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, - 3), (- 1, - 2), (1, 2), (2, 3)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 3 \\ - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 3