Основы алгебры Примеры

$x = {(y + 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим ${(y + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(y + 1)}^{2}$ в виде $(y + 1) (y + 1)$ .

$x = (y + 1) (y + 1)$

Этап 1.2

Развернем $(y + 1) (y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $y$ и $y$ .

$x = y^{2} + 2 y + 1$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} + 2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 1$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 1 - 1$

Этап 2.1.1.4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 1)}^{2} + 0$ .

${(y + 1)}^{2} + 0$

Этап 2.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y + 1)}^{2} + 0$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 1$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 1$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 1)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Ось симметрии: $y = - 1$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 1)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Ось симметрии: $y = - 1$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{x} - 1$ . В данном случае получится точка $(1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Этап 3.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 3.1.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$= 0$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ . В данном случае получится точка $(1, - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 - 1$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (1) = - 2$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 3.2.3

Преобразуем $- 2$ в десятичное представление.

$= - 2$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{x} - 1$ . В данном случае получится точка $(2, 0.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} - 1$ .

$y = \sqrt{2} - 1$

Этап 3.3.3

Преобразуем $\sqrt{2} - 1$ в десятичное представление.

$= 0.41421356$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ . В данном случае получится точка $(2, - 2.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Этап 3.4.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} - 1$ .

$y = - \sqrt{2} - 1$

Этап 3.4.3

Преобразуем $- \sqrt{2} - 1$ в десятичное представление.

$= - 2.41421356$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 1)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Ось симметрии: $y = - 1$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Этап 5