Основы алгебры Примеры

$x = y^{2} - 4 y + 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} - 4 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 1 - \frac{4}{1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 4$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 1 - 4$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$e = - 3$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 2)}^{2} - 3$ .

${(y - 2)}^{2} - 3$

Этап 1.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y - 2)}^{2} - 3$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 2$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, 2)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{11}{4}, 2)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 2$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{13}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 2)$

Фокус: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{13}{4}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 2)$

Фокус: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{13}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - (- 2))}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 + 2)}$

Этап 2.1.2.1.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{1}$

Этап 2.1.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = 2 + 1$

Этап 2.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- 2) = 3$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 2.1.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$= 3$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - (- 2))}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 + 2)}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{1}$

Этап 2.2.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = 2 - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 2) = 2 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- 2) = 1$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 2.2.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$= 1$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 3.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - (- 1))}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 + 1)}$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{2}$

Этап 2.3.2.2

Окончательный ответ: $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Этап 2.3.3

Преобразуем $2 + \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 3.41421356$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 0.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - (- 1))}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 + 1)}$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.2

Окончательный ответ: $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Этап 2.4.3

Преобразуем $2 - \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 0.58578643$

Этап 2.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 0.59 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 2)$

Фокус: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 0.59 \end{array}$

Этап 4