Основы алгебры Примеры

$x = - 2 y^{2} - 8 y - 14$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- 2 y^{2} - 8 y - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = - 14$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 14 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{- 8}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 8$ .

$e = - 14 - - 8$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$e = - 14 + 8$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим $- 14$ и $8$ .

$e = - 6$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$ .

$- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Этап 1.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 2$

$h = - 6$

$k = - 2$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 6, - 2)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{49}{8}, - 2)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 2$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{47}{8}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, - 2)$

Фокус: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{47}{8}$

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, - 2)$

Фокус: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{47}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 8$ в $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 8, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Добавим $- 6$ и $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

Этап 2.1.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 2.1.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 8) = - \frac{4 + 2}{2}$

Этап 2.1.2.1.6

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 8) = - \frac{6}{2}$

Этап 2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Разделим $6$ на $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 3$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- 8) = - 3$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.1.3

Преобразуем $- 3$ в десятичное представление.

$= - 3$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 8$ в $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 8, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $- 6$ и $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

Этап 2.2.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 8) = - \frac{4 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - 2}{2}$

Этап 2.2.2.1.7

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Этап 2.2.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (- 8) = - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 8) = - 1$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.2.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$= - 1$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $- 7$ в $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 7, - 2.70710678)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3

Преобразуем $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= - 2.70710678$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $- 7$ в $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 7, - 1.29289321)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.3

Преобразуем $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= - 1.29289321$

Этап 2.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, - 2)$

Фокус: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{47}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Этап 4