Основы алгебры Примеры

$- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$

Этап 1

Разделим каждый член $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (1)} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 y}{1} + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.2.2.4

Разделим $2 y$ на $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y + \frac{40}{- 4}$

Этап 1.3.1.3

Разделим $40$ на $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = - 10$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - (1 \cdot 4)$

Этап 2.1.1.3.2.4

Умножим $- (1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.4.1

Умножим $4$ на $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 2.1.1.3.2.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 10 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - 10 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 10 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Разделим $4$ на $- 1$ .

$e = - 10 - - 4$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = - 10 + 4$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $- 10$ и $4$ .

$e = - 6$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$

Этап 2.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 6$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 6$

$k = 4$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 6, 4)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 2.5.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 7, 4)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 4$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - 5$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, 4)$

Фокус: $(- 7, 4)$

Ось симметрии: $y = 4$

Директриса: $x = - 5$

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, 4)$

Фокус: $(- 7, 4)$

Ось симметрии: $y = 4$

Директриса: $x = - 5$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 8$ в $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ . В данном случае получится точка $(- 8, 6.82842712)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Этап 3.1.2.1.2

Добавим $- 6$ и $8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $4 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.1.3

Преобразуем $4 + 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 6.82842712$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 8$ в $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ . В данном случае получится точка $(- 8, 1.17157287)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 6$ и $8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3.2.2.2

Окончательный ответ: $4 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3.2.3

Преобразуем $4 - 2 \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 1.17157287$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $- 7$ в $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ . В данном случае получится точка $(- 7, 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{1}$

Этап 3.3.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \cdot 1$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2$

Этап 3.3.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 7) = 6$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 3.3.3

Преобразуем $6$ в десятичное представление.

$= 6$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $- 7$ в $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ . В данном случае получится точка $(- 7, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{1}$

Этап 3.4.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \cdot 1$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (- 7) = 2$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 3.4.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$= 2$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 6, 4)$

Фокус: $(- 7, 4)$

Ось симметрии: $y = 4$

Директриса: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Этап 5