Основы алгебры Примеры

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y - 107 = 0$

Этап 1

Добавим $107$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y = 107$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $4$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 3.3.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Этап 3.4.2.1.3

Разделим $36$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Этап 4

Подставим ${(x - 3)}^{2} - 9$ вместо $x^{2} - 6 x$ в уравнение $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Этап 5

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + y = \frac{107}{4} + 9$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 7

Подставим ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $y^{2} + y$ в уравнение $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{107}{4} + 9$

Этап 8

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$

Этап 9

Упростим $\frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{107 + 1}{4}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $107$ и $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{108}{4}$

Этап 9.2.2

Разделим $108$ на $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + 27$

Этап 9.2.3

Добавим $9$ и $27$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 36$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 6$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{2}$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(3, - \frac{1}{2})$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(3, - \frac{1}{2})$

Радиус: $6$

Этап 14