Основы алгебры Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $81$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Этап 5.3.6

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.7

Объединим $- 9$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Этап 5.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Этап 5.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Этап 5.3.9.2

Вычтем $36$ из $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Этап 5.3.10

Перепишем $\sqrt{\frac{45}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.11.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.8

Объединим $- 9$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.10.2

Вычтем $36$ из $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.11

Перепишем $\sqrt{\frac{45}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.12.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Этап 8.3.14.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Этап 8.3.14.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.14.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Этап 8.3.14.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Этап 8.3.14.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Этап 8.3.14.3

Объединим $\sqrt{5}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 10