Основы алгебры Примеры

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 40 x + 48 y + 0 = 0$

Этап 1

Разделим обе части уравнения на $4$ .

$x^{2} + y^{2} + 10 x + 12 y = 0$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25$

Этап 3

Подставим ${(x + 5)}^{2} - 25$ вместо $x^{2} + 10 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 10 x + 12 y = 0$ .

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} + 12 y = 0$

Этап 4

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

${(x + 5)}^{2} + y^{2} + 12 y = 0 + 25$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} + 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$d = 6$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $144$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 6)}^{2} - 36$ .

${(y + 6)}^{2} - 36$

Этап 6

Подставим ${(y + 6)}^{2} - 36$ вместо $y^{2} + 12 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 10 x + 12 y = 0$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2} - 36 = 0 + 25$

Этап 7

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

${(x + 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 0 + 25 + 36$

Этап 8

Упростим $0 + 25 + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $0$ и $25$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 25 + 36$

Этап 8.2

Добавим $25$ и $36$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 61$

Этап 9

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 10

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \sqrt{61}$

$h = - 5$

$k = - 6$

Этап 11

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- 5, - 6)$

Этап 12

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- 5, - 6)$

Радиус: $\sqrt{61}$

Этап 13