Основы алгебры Примеры

$4 x^{2} + 25 x - 21 = y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y = 4 x^{2} + 25 x - 21$ .

$y = 4 x^{2} + 25 x - 21$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 25 x - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 25$

$c = - 21$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{25}{2 \cdot 4}$

Этап 2.1.1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$d = \frac{25}{8}$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 21 - \frac{25^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $25$ в степень $2$ .

$e = - 21 - \frac{625}{4 \cdot 4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = - 21 - \frac{625}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 21$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$e = - 21 \cdot \frac{16}{16} - \frac{625}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Объединим $- 21$ и $\frac{16}{16}$ .

$e = \frac{- 21 \cdot 16}{16} - \frac{625}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 21 \cdot 16 - 625}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 21$ на $16$ .

$e = \frac{- 336 - 625}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.5.2

Вычтем $625$ из $- 336$ .

$e = \frac{- 961}{16}$

Этап 2.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{961}{16}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + \frac{25}{8})}^{2} - \frac{961}{16}$ .

$4 {(x + \frac{25}{8})}^{2} - \frac{961}{16}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 4 {(x + \frac{25}{8})}^{2} - \frac{961}{16}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{25}{8}$

$k = - \frac{961}{16}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{8}, - \frac{961}{16})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{25}{8}, - 60)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{25}{8}$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{481}{8}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{25}{8}, - \frac{961}{16})$

Фокус: $(- \frac{25}{8}, - 60)$

Ось симметрии: $x = - \frac{25}{8}$

Директриса: $y = - \frac{481}{8}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{25}{8}, - \frac{961}{16})$

Фокус: $(- \frac{25}{8}, - 60)$

Ось симметрии: $x = - \frac{25}{8}$

Директриса: $y = - \frac{481}{8}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 25 (- 4) - 21$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 25 (- 4) - 21$

Этап 3.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$f (- 4) = 64 + 25 (- 4) - 21$

Этап 3.2.1.3

Умножим $25$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 64 - 100 - 21$

Этап 3.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $100$ из $64$ .

$f (- 4) = - 36 - 21$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $21$ из $- 36$ .

$f (- 4) = - 57$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 57$ .

$- 57$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $- 57$ .

$y = - 57$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = 4 {(- 5)}^{2} + 25 (- 5) - 21$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = 4 \cdot 25 + 25 (- 5) - 21$

Этап 3.5.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$f (- 5) = 100 + 25 (- 5) - 21$

Этап 3.5.1.3

Умножим $25$ на $- 5$ .

$f (- 5) = 100 - 125 - 21$

Этап 3.5.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $125$ из $100$ .

$f (- 5) = - 25 - 21$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $21$ из $- 25$ .

$f (- 5) = - 46$

Этап 3.5.3

Окончательный ответ: $- 46$ .

$- 46$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 5$ равно $- 46$ .

$y = - 46$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 25 (- 2) - 21$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 25 (- 2) - 21$

Этап 3.8.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = 16 + 25 (- 2) - 21$

Этап 3.8.1.3

Умножим $25$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 50 - 21$

Этап 3.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $50$ из $16$ .

$f (- 2) = - 34 - 21$

Этап 3.8.2.2

Вычтем $21$ из $- 34$ .

$f (- 2) = - 55$

Этап 3.8.3

Окончательный ответ: $- 55$ .

$- 55$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- 55$ .

$y = - 55$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 25 (- 1) - 21$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 25 (- 1) - 21$

Этап 3.11.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f (- 1) = 4 + 25 (- 1) - 21$

Этап 3.11.1.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 25 - 21$

Этап 3.11.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вычтем $25$ из $4$ .

$f (- 1) = - 21 - 21$

Этап 3.11.2.2

Вычтем $21$ из $- 21$ .

$f (- 1) = - 42$

Этап 3.11.3

Окончательный ответ: $- 42$ .

$- 42$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 42$ .

$y = - 42$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 46 \\ - 4 & - 57 \\ - \frac{25}{8} & - \frac{961}{16} \\ - 2 & - 55 \\ - 1 & - 42 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{25}{8}, - \frac{961}{16})$

Фокус: $(- \frac{25}{8}, - 60)$

Ось симметрии: $x = - \frac{25}{8}$

Директриса: $y = - \frac{481}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 46 \\ - 4 & - 57 \\ - \frac{25}{8} & - \frac{961}{16} \\ - 2 & - 55 \\ - 1 & - 42 \end{array}$

Этап 5