Основы алгебры Примеры

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $19$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $5 x^{2} - 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$d = \frac{- 27}{10}$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{27}{10}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 27$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$e = 0 - \frac{729}{20}$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $\frac{729}{20}$ из $0$ .

$e = - \frac{729}{20}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

Этап 1.3

Подставим $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ вместо $5 x^{2} - 27 x$ в уравнение $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

Этап 1.4

Перенесем $- \frac{729}{20}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{729}{20}$ к обеим частям.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $2 y^{2} + 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{2}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{8}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $256$ на $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $32$ .

$e = 0 - 32$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $32$ из $0$ .

$e = - 32$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ .

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

Этап 1.6

Подставим $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ вместо $2 y^{2} + 16 y$ в уравнение $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

Этап 1.7

Перенесем $- 32$ в правую часть уравнения, прибавив $32$ к обеим частям.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

Этап 1.8

Упростим $19 + \frac{729}{20} + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Запишем $19$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

Этап 1.8.1.2

Умножим $\frac{19}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Этап 1.8.1.3

Умножим $\frac{19}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Этап 1.8.1.4

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

Этап 1.8.1.5

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Этап 1.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $19$ на $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Этап 1.8.3.2

Умножим $32$ на $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

Этап 1.8.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Добавим $380$ и $729$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

Этап 1.8.4.2

Добавим $1109$ и $640$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $\frac{1749}{20}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(\frac{27}{10}, - 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{17490}}^{2}$ в виде $17490$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17490}$ в виде $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $17490$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $10$ из $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $10$ из $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Этап 5.3.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6

Перепишем ${\sqrt{1749}}^{2}$ в виде $1749$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1749}$ в виде $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

Этап 5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

Этап 5.3.7

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $\frac{1749}{40}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

Этап 5.3.9

Чтобы записать $- \frac{1749}{100}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 5.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $200$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $\frac{1749}{40}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 5.3.10.2

Умножим $40$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 5.3.10.3

Умножим $\frac{1749}{100}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

Этап 5.3.10.4

Умножим $100$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

Этап 5.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Этап 5.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Умножим $1749$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Этап 5.3.12.2

Умножим $- 1749$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

Этап 5.3.12.3

Вычтем $3498$ из $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

Этап 5.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ в виде $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

Этап 5.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Перепишем $5247$ в виде $3^{2} \cdot 583$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1.1

Вынесем множитель $9$ из $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

Этап 5.3.14.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

Этап 5.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

Этап 5.3.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Перепишем $200$ в виде $10^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1.1

Вынесем множитель $100$ из $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

Этап 5.3.15.1.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.15.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

Этап 5.3.16

Умножим $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.17

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.17.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 5.3.17.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 5.3.17.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 5.3.17.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.17.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.17.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.17.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.17.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.17.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.17.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Этап 5.3.17.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Этап 5.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.18.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

Этап 5.3.18.2

Умножим $2$ на $583$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

Этап 5.3.19

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3

Перепишем ${\sqrt{17490}}^{2}$ в виде $17490$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17490}$ в виде $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.4

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $17490$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $10$ из $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.2.1

Вынесем множитель $10$ из $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7

Перепишем ${\sqrt{1749}}^{2}$ в виде $1749$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1749}$ в виде $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.8

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $\frac{1749}{40}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.10

Чтобы записать $- \frac{1749}{100}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $200$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Умножим $\frac{1749}{40}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.11.2

Умножим $40$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.11.3

Умножим $\frac{1749}{100}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.11.4

Умножим $100$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Умножим $1749$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.13.2

Умножим $- 1749$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.13.3

Вычтем $3498$ из $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.14

Перепишем $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ в виде $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Перепишем $5247$ в виде $3^{2} \cdot 583$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1.1

Вынесем множитель $9$ из $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.15.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.15.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Перепишем $200$ в виде $10^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1.1

Вынесем множитель $100$ из $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.16.1.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.16.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.1.2

Вынесем множитель $10$ из $20$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.2

Умножим $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Этап 8.3.17.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

Этап 8.3.17.5

Умножим $2$ на $17490$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

Этап 8.3.18

Объединим $\sqrt{583}$ и $\sqrt{34980}$ под одним знаком корня.

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

Этап 8.3.19

Сократим общий множитель $583$ и $34980$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.19.1

Вынесем множитель $583$ из $583$ .

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

Этап 8.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.19.2.1

Вынесем множитель $583$ из $34980$ .

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Этап 8.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Этап 8.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

Этап 8.3.20

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{60}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ .

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

Этап 8.3.21

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

Этап 8.3.22

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.22.1

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.22.1.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

Этап 8.3.22.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Этап 8.3.22.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Этап 8.3.23

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Этап 8.3.23.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{15}$ .

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

Этап 8.3.23.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Этап 8.3.23.1.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.23.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.24

Умножим $\frac{3}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.25

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 8.3.25.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Этап 8.3.25.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Этап 8.3.25.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.25.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 8.3.25.6

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.25.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.25.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.25.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.25.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

Этап 8.3.25.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

Этап 8.3.26

Сократим общий множитель $3$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

Этап 8.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Этап 8.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Этап 8.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Этап 10