Основы алгебры Примеры

$5 x^{2} + 2 y^{2} = 100$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 x^{2}}{100} + \frac{2 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{50} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $25$ на $2$ .

$\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Этап 5.3.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}$

Этап 5.3.5

Умножим $- (4 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{50 - 1 \cdot 20}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\sqrt{50 - 20}$

Этап 5.3.6

Вычтем $20$ из $50$ .

$\sqrt{30}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 5 \sqrt{2})$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 5 \sqrt{2})$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (5 \sqrt{2}))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 5 \sqrt{2})$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \sqrt{30})$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, \sqrt{30})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\sqrt{30}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(0, - \sqrt{30})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.8

Умножим $- (4 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 20}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.8.2

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{\sqrt{50 - 20}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.9

Вычтем $20$ из $50$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{30}$ и $\sqrt{2}$ под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{\frac{30}{2}}}{5}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2}}}{5}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 (1)}}}{5}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1}}}{5}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{1}}}{5}$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Этап 10