Основы алгебры Примеры

$- 3 y^{2} + 12 y - x - 9 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$12 y - x - 9 = 3 y^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $12 y$ из обеих частей уравнения.

$- x - 9 = 3 y^{2} - 12 y$

Этап 1.3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$

Этап 2

Разделим каждый член $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3 y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (3 y^{2})$ в виде $- (3 y^{2})$ .

$x = - (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 12 y}{- 1}$ .

$x = - 3 y^{2} - 1 \cdot (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (- 12 y)$ в виде $- (- 12 y)$ .

$x = - 3 y^{2} - (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y + \frac{9}{- 1}$

Этап 2.3.1.7

Разделим $9$ на $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 9$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Этап 3.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{- 3}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 3.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = - 9 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = - 9 - \frac{144}{- 12}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Разделим $144$ на $- 12$ .

$e = - 9 - - 12$

Этап 3.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$e = - 9 + 12$

Этап 3.1.1.4.2.2

Добавим $- 9$ и $12$ .

$e = 3$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = 3$

$k = 2$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{35}{12}, 2)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 2$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{37}{12}$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(\frac{35}{12}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = \frac{37}{12}$

Направление: обращены влево

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(\frac{35}{12}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = \frac{37}{12}$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . В данном случае получится точка $(1, 2.81649658)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 4.1.3

Преобразуем $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ в десятичное представление.

$= 2.81649658$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . В данном случае получится точка $(1, 1.18350341)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 4.2.3

Преобразуем $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ в десятичное представление.

$= 1.18350341$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . В данном случае получится точка $(2, 2.57735026)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.3.3

Преобразуем $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ в десятичное представление.

$= 2.57735026$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . В данном случае получится точка $(2, 1.42264973)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Этап 4.4.2.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Этап 4.4.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.4.3

Преобразуем $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ в десятичное представление.

$= 1.42264973$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(\frac{35}{12}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = \frac{37}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Этап 6