Основы алгебры Примеры

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

Этап 1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $3$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.3.3

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.3.4

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{2}{3}$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.6

Умножим $\frac{16}{9}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Этап 3.4.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 3.4.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 3.4.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 3.4.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $\frac{4}{9}$ из $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Этап 4

Подставим ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ вместо $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} + y^{2} + 2 y = 4$

Этап 5

Перенесем $- \frac{4}{9}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{4}{9}$ к обеим частям.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + y^{2} + 2 y = 4 + \frac{4}{9}$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 6.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 6.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Этап 7

Подставим ${(y + 1)}^{2} - 1$ вместо $y^{2} + 2 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 4 + \frac{4}{9}$

Этап 8

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 + \frac{4}{9} + 1$

Этап 9

Упростим $4 + \frac{4}{9} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} + \frac{4}{9} + 1$

Этап 9.1.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Этап 9.1.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1}$

Этап 9.1.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 9.1.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9}$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 + 9}{9}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $4$ на $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{36 + 4 + 9}{9}$

Этап 9.3.2

Добавим $36$ и $4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{40 + 9}{9}$

Этап 9.3.3

Добавим $40$ и $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{49}{9}$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{7}{3}$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - 1$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Радиус: $\frac{7}{3}$

Этап 14