Основы алгебры Примеры

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y + 1376 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1376$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $36 x^{2} - 288 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 36$

$b = - 288$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 288}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 288$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 288$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 (36)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 144}{36}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 144$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $- 144$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 288)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 288$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{82944}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $36$ .

$e = 0 - \frac{82944}{144}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $82944$ на $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 576$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $576$ .

$e = 0 - 576$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $576$ из $0$ .

$e = - 576$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576$

Этап 1.3

Подставим $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ вместо $36 x^{2} - 288 x$ в уравнение $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576 - 25 y^{2} - 100 y = - 1376$

Этап 1.4

Перенесем $- 576$ в правую часть уравнения, прибавив $576$ к обеим частям.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 y^{2} - 100 y = - 1376 + 576$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 25 y^{2} - 100 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 50$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $100$ .

$e = 100$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$

Этап 1.6

Подставим $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ вместо $- 25 y^{2} - 100 y$ в уравнение $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} + 100 = - 1376 + 576$

Этап 1.7

Перенесем $100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 1376 + 576 - 100$

Этап 1.8

Упростим $- 1376 + 576 - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 1376$ и $576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 800 - 100$

Этап 1.8.2

Вычтем $100$ из $- 800$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 900$

Этап 1.9

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$- 36 {(x - 4)}^{2} + 25 {(y + 2)}^{2} = 900$

Этап 1.10

Разделим каждый член на $900$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{36 {(x - 4)}^{2}}{900} + \frac{25 {(y + 2)}^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Этап 1.11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 6$

$b = 5$

$k = - 2$

$h = 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(4, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 + 25}$

Этап 5.3.3

Добавим $36$ и $25$ .

$\sqrt{61}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 4)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 8)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 4), (4, - 8)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 2 + \sqrt{61})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 2 - \sqrt{61})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(4, - 2 + \sqrt{61}), (4, - 2 - \sqrt{61})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(5)}^{2}}}{6}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 5^{2}}}{6}$

Этап 8.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 25}}{6}$

Этап 8.3.3

Добавим $36$ и $25$ .

$\frac{\sqrt{61}}{6}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{61}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{61}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{25}{\sqrt{61}}$ на $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{25}{\sqrt{61}}$ на $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{61}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{61}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{61}}^{2}$ в виде $61$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{61}$ в виде $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Этап 11.2

Упростим $\frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{6}{5} \cdot (x - 4) - 2$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{6}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{6}{5} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $- 4$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 4}{5} - 2$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $6$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24}{5} - 2$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} - 2$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24 - 2 \cdot 5}{5}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24 - 10}{5}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $10$ из $- 24$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 34}{5}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - \frac{6}{5} \cdot (x - 4) - 2$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{6}{5} x - \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} - \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{6}{5} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + 4 (\frac{6}{5}) - 2$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + \frac{4 \cdot 6}{5} - 2$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $4$ на $6$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + \frac{24}{5} - 2$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} - 2$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 12.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24 - 2 \cdot 5}{5}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24 - 10}{5}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $10$ из $24$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}, y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(4, - 2)$

Вершины: $(4, 4), (4, - 8)$

Фокусы: $(4, - 2 + \sqrt{61}), (4, - 2 - \sqrt{61})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{61}}{6}$

Фокальный параметр: $\frac{25 \sqrt{61}}{61}$

Асимптоты: $y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$ , $y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Этап 15