Основы алгебры Примеры

$x^{2} + y^{2} + 3 x = 5$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $\frac{9}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Этап 2

Подставим ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ вместо $x^{2} + 3 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 3 x = 5$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} = 5$

Этап 3

Перенесем $- \frac{9}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{9}{4}$ к обеим частям.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = 5 + \frac{9}{4}$

Этап 4

Упростим $5 + \frac{9}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 4.2

Объединим $5$ и $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{5 \cdot 4 + 9}{4}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $5$ на $4$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{20 + 9}{4}$

Этап 4.4.2

Добавим $20$ и $9$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{29}{4}$

Этап 5

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 6

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{\sqrt{29}}{2}$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = 0$

Этап 7

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- \frac{3}{2}, 0)$

Этап 8

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- \frac{3}{2}, 0)$

Радиус: $\frac{\sqrt{29}}{2}$

Этап 9