Основы алгебры Примеры

$\sqrt{64 - 49 x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{64 - 49 x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 + 7 x = 0$

$8 - 7 x = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $8 + 7 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $8 + 7 x$ к $0$ .

$8 + 7 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Решим $8 + 7 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 8$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 8$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 8$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Этап 1.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Этап 1.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{7}$

Этап 1.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{7}$

Этап 1.2.3

Приравняем $8 - 7 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $8 - 7 x$ к $0$ .

$8 - 7 x = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $8 - 7 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 8$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 8$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 8$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{8}{7}$

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$ верно.

$x = - \frac{8}{7}, \frac{8}{7}$

Этап 1.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{8}{7}$

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$

$x > \frac{8}{7}$

Этап 1.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(8 + 7 (- 4)) (8 - 7 \cdot - 4) \geq 0$

Этап 1.2.6.1.3

Левая часть $- 720$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(8 + 7 (0)) (8 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Этап 1.2.6.2.3

Левая часть $64$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{8}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(8 + 7 (4)) (8 - 7 \cdot 4) \geq 0$

Этап 1.2.6.3.3

Левая часть $- 720$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{8}{7}$ Ложь

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Истина

$x > \frac{8}{7}$ Ложь

$x < - \frac{8}{7}$ Ложь

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Истина

$x > \frac{8}{7}$ Ложь

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Интервальное представление:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = \sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{8}{7}$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (- \frac{8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{7}$ в числитель.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 - 8) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Этап 2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{7}$ в числитель.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (\frac{- 8}{7}))}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 (- 1) (\frac{- 8}{7}))}$

Этап 2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{- 8}{7})))}$

Этап 2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 1 \cdot - 8)}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 8)}$

Этап 2.2.4.2

Добавим $8$ и $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 \cdot 16}$

Этап 2.2.4.3

Умножим $0$ на $16$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.4.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{8}{7}) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8}{7}$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 8) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Этап 2.4.2

Добавим $8$ и $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 (- 1) (\frac{8}{7}))}$

Этап 2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{8}{7})))}$

Этап 2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 8)}$

Этап 2.4.4.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 \cdot 0}$

Этап 2.4.4.3

Умножим $16$ на $0$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Этап 2.4.4.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{8}{7}) = 0$

Этап 2.4.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$ .

$(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$

Этап 4

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{7} & 0 \\ \frac{8}{7} & 0 \end{array}$

Этап 5