Основы алгебры Примеры

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Этап 1

Добавим $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило умножения к $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Перепишем таким образом, чтобы $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ оказалось в левой части неравенства.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Этап 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Этап 6

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ в виде ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Этап 6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Этап 6.2.1.2

Упростим.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.5.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Этап 7.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Этап 7.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Этап 7.3.3

Умножим на $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 7.3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Этап 7.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Этап 7.5

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 7.5.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7.6

Приравняем $x^{2} - 3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x^{2} - 3 x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Этап 7.6.2

Решим $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 8

Найдем область определения $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Интервальное представление:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Этап 11