Основы алгебры Примеры

$t^{2} + \frac{2}{3} t + \frac{1}{9}$

Этап 1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{9}$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Этап 2.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{3}$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = \frac{1}{9} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$e = \frac{1}{9} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$e = \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{1 - 1}{9}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$e = \frac{0}{9}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Разделим $0$ на $9$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{3}$

$k = 0$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Фокус: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Фокус: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + \frac{2 (- 1)}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + \frac{- 2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{9 - 2 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{9 - 6 + 1}{9}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$f (- 1) = \frac{3 + 1}{9}$

Этап 3.2.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- 1) = \frac{4}{9}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{4}{9}$ .

$y = \frac{4}{9}$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{2 (- 2)}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{- 4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{- 4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = 4 - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3.5

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9 - 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $4$ на $9$ .

$f (- 2) = \frac{36 - 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{36 - 12 + 1}{9}$

Этап 3.5.6

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Вычтем $12$ из $36$ .

$f (- 2) = \frac{24 + 1}{9}$

Этап 3.5.6.2

Добавим $24$ и $1$ .

$f (- 2) = \frac{25}{9}$

Этап 3.5.7

Окончательный ответ: $\frac{25}{9}$ .

$\frac{25}{9}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $\frac{25}{9}$ .

$y = \frac{25}{9}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2 (1)}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{9 + 2 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.8.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (1) = \frac{9 + 6 + 1}{9}$

Этап 3.8.5.2

Добавим $9$ и $6$ .

$f (1) = \frac{15 + 1}{9}$

Этап 3.8.5.3

Добавим $15$ и $1$ .

$f (1) = \frac{16}{9}$

Этап 3.8.6

Окончательный ответ: $\frac{16}{9}$ .

$\frac{16}{9}$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{16}{9}$ .

$y = \frac{16}{9}$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} + \frac{2 (2)}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (2) = \frac{4}{1} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3.5

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{4 \cdot 9 + 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.11.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Умножим $4$ на $9$ .

$f (2) = \frac{36 + 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Этап 3.11.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f (2) = \frac{36 + 12 + 1}{9}$

Этап 3.11.6

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Добавим $36$ и $12$ .

$f (2) = \frac{48 + 1}{9}$

Этап 3.11.6.2

Добавим $48$ и $1$ .

$f (2) = \frac{49}{9}$

Этап 3.11.7

Окончательный ответ: $\frac{49}{9}$ .

$\frac{49}{9}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{49}{9}$ .

$y = \frac{49}{9}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{9} \\ - 1 & \frac{4}{9} \\ - \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & \frac{16}{9} \\ 2 & \frac{49}{9} \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Фокус: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{9} \\ - 1 & \frac{4}{9} \\ - \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & \frac{16}{9} \\ 2 & \frac{49}{9} \end{array}$

Этап 5