Основы алгебры Примеры

$\frac{18}{24} \cdot \frac{x \cdot x}{5}$

Этап 1

Упростим $\frac{18}{24} \cdot \frac{x \cdot x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{18}{24} \cdot \frac{x^{1} x}{5}$

Этап 1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{18}{24} \cdot \frac{x^{1} x^{1}}{5}$

Этап 1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{18}{24} \cdot \frac{x^{1 + 1}}{5}$

Этап 1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{18}{24} \cdot \frac{x^{2}}{5}$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$y = \frac{18 x^{2}}{24 \cdot 5}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $18$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{2}$ .

$y = \frac{6 (3 x^{2})}{24 \cdot 5}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $24 \cdot 5$ .

$y = \frac{6 (3 x^{2})}{6 (4 \cdot 5)}$

Этап 1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{6 (3 x^{2})}{6 (4 \cdot 5)}$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 x^{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{20}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{3 x^{2}}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{3}{20}$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{3}{20})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{3}{20})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{3}{20})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{\frac{3}{20}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (\frac{20}{3})$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим $0$ на $\frac{20}{3}$ .

$d = 0$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{3}{20})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{3}{20})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{3}{20}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 3}{20}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{12}{20}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Сократим общий множитель $12$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (3)}{20}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{3}{5}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (0 (\frac{5}{3}))$

Этап 2.1.1.4.2.1.6

Умножим $0$ на $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - 0$

Этап 2.1.1.4.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{3}{20} x^{2}$ .

$\frac{3}{20} x^{2}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{3}{20} x^{2}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{3}{20}$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{20}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{20}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{20}}$

Этап 2.5.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{1}{\frac{12}{20}}$

Этап 2.5.3.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 (3)}{20}}$

Этап 2.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}}$

Этап 2.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}}$

Этап 2.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{3}{5}}$

Этап 2.5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{5}{3})$

Этап 2.5.3.4

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{5}{3})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5}{3}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{5}{3})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{5}{3}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{5}{3})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{5}{3}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{2}}{20}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot 1}{20}$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{20}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{20}$ .

$\frac{3}{20}$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{3}{20}$ .

$y = \frac{3}{20}$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{20}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{3 \cdot 4}{20}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{12}{20}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $12$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (- 2) = \frac{4 (3)}{20}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}$

Этап 3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = \frac{3}{5}$

Этап 3.5.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{3 {(1)}^{2}}{20}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{3 \cdot 1}{20}$

Этап 3.8.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \frac{3}{20}$

Этап 3.8.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{20}$ .

$\frac{3}{20}$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{3}{20}$ .

$y = \frac{3}{20}$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{3 {(2)}^{2}}{20}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 4}{20}$

Этап 3.11.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (2) = \frac{12}{20}$

Этап 3.11.2

Сократим общий множитель $12$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (2) = \frac{4 (3)}{20}$

Этап 3.11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}$

Этап 3.11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}$

Этап 3.11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{3}{5}$

Этап 3.11.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{3}{5} \\ - 1 & \frac{3}{20} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{3}{20} \\ 2 & \frac{3}{5} \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{5}{3})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{5}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{3}{5} \\ - 1 & \frac{3}{20} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{3}{20} \\ 2 & \frac{3}{5} \end{array}$

Этап 5