Основы алгебры Примеры

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $3 y^{2} - 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{3}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $144$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$e = 0 - 12$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$e = - 12$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

Этап 1.3

Подставим $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ вместо $3 y^{2} - 12 y$ в уравнение $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 9$

Этап 1.4

Перенесем $- 12$ в правую часть уравнения, прибавив $12$ к обеим частям.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 9 + 12$

Этап 1.5

Добавим $- 9$ и $12$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 3$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $3$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{3}$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3^{1} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + \sqrt{3}, 2)$

Этап 6.3

Упростим.

$(\sqrt{3}, 2)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\sqrt{3}), 2)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \sqrt{3}, 2)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \sqrt{2}, 2)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\sqrt{2}, 2)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\sqrt{2}), 2)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \sqrt{2}, 2)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3^{1} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3 - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3 - 1}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 10