Основы алгебры Примеры

$x^{2} + 8 x + 4 y + 8 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x + 4 y + 8 = - x^{2}$

Этап 1.1.2

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$4 y + 8 = - x^{2} - 8 x$

Этап 1.1.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$4 y = - x^{2} - 8 x - 8$

Этап 1.2

Разделим каждый член $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.2.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x + \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.1.3

Разделим $- 8$ на $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 4$

Этап 2.1.1.3.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Разделим $4$ на $- 1$ .

$e = - 2 - - 4$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = - 2 + 4$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$e = 2$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 2$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 2.5.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 1)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 4$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 3$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- 4, 1)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 3$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- 4, 1)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 3$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = - \frac{{(- 6)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = - \frac{36}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Этап 3.2.1.2

Разделим $36$ на $4$ .

$f (- 6) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- 6) = - 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$f (- 6) = - 9 + 12 - 2$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 9$ и $12$ .

$f (- 6) = 3 - 2$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (- 6) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 6$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + 10 - 2$

Этап 3.5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Запишем $10$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} - 2$

Этап 3.5.2.2

Умножим $\frac{10}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Этап 3.5.2.3

Умножим $\frac{10}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} - 2$

Этап 3.5.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.5.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.5.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{- 25 + 10 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $10$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.5.4.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 8}{4}$

Этап 3.5.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Добавим $- 25$ и $40$ .

$f (- 5) = \frac{15 - 8}{4}$

Этап 3.5.5.2

Вычтем $8$ из $15$ .

$f (- 5) = \frac{7}{4}$

Этап 3.5.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 5$ равно $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 2 - 2$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Запишем $- 2 \cdot - 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} - 2$

Этап 3.8.1.2

Умножим $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Этап 3.8.1.3

Умножим $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} - 2$

Этап 3.8.1.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.8.1.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.3.3

Умножим $- 2 \cdot - 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.3.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.3.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.8.3.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 8}{4}$

Этап 3.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Добавим $- 4$ и $16$ .

$f (- 2) = \frac{12 - 8}{4}$

Этап 3.8.4.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4}$

Этап 3.8.4.3

Разделим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = 1$

Этап 3.8.5

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Этап 3.11.1.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + 6 - 2$

Этап 3.11.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} - 2$

Этап 3.11.2.2

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Этап 3.11.2.3

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} - 2$

Этап 3.11.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.11.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.11.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{- 9 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Умножим $6$ на $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.11.4.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 8}{4}$

Этап 3.11.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Добавим $- 9$ и $24$ .

$f (- 3) = \frac{15 - 8}{4}$

Этап 3.11.5.2

Вычтем $8$ из $15$ .

$f (- 3) = \frac{7}{4}$

Этап 3.11.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- 4, 1)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Этап 5