Основы алгебры Примеры

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

Этап 1

Добавим $5 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

Этап 3

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Этап 4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Этап 4.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Этап 4.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Этап 4.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

Этап 4.1.3.4

Умножим $8$ на $1$ .

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

Этап 4.1.3.5

Добавим $1$ и $8$ .

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

Этап 4.1.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$9 + 5 - 14$

Этап 4.1.3.7

Добавим $9$ и $5$ .

$14 - 14$

Этап 4.1.3.8

Вычтем $14$ из $14$ .

$0$

Этап 4.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

Этап 4.1.5

Разделим $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

Этап 4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

Этап 4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Этап 4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

Этап 4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Этап 4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $14 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Этап 4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

Этап 4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $14 x - 14$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

Этап 4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

Этап 4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 9 x + 14$

Этап 4.1.6

Запишем $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} + 9 x + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} + 9 x + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 1, - 2, - 7$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 200$ меньше правой части $64$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

Этап 11.2.3

Левая часть $64$ не меньше правой части $34$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $14$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

Этап 11.4.3

Левая часть $192$ не меньше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 7$ или $- 2 < x < 1$

Этап 13