Основы алгебры Примеры

$x^{2} - 9 x + 9$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 9 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 9$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{9}{2}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 9 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$e = 9 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 9 - \frac{81}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e = 9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{9 \cdot 4 - 81}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.5.1

Умножим $9$ на $4$ .

$e = \frac{36 - 81}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.5.2

Вычтем $81$ из $36$ .

$e = \frac{- 45}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{45}{4}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{9}{2}$

$k = - \frac{45}{4}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{9}{2}, - \frac{45}{4})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{9}{2}, - 11)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{9}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{23}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{9}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{9}{2}, - 11)$

Ось симметрии: $x = \frac{9}{2}$

Директриса: $y = - \frac{23}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{9}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{9}{2}, - 11)$

Ось симметрии: $x = \frac{9}{2}$

Директриса: $y = - \frac{23}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 + 9$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - 9 \cdot 3 + 9$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 9$ на $3$ .

$f (3) = 9 - 27 + 9$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $27$ из $9$ .

$f (3) = - 18 + 9$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 18$ и $9$ .

$f (3) = - 9$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 9$ .

$y = - 9$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 9 \cdot 2 + 9$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 - 9 \cdot 2 + 9$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (2) = 4 - 18 + 9$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $18$ из $4$ .

$f (2) = - 14 + 9$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 14$ и $9$ .

$f (2) = - 5$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = {(5)}^{2} - 9 \cdot 5 + 9$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 25 - 9 \cdot 5 + 9$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 9$ на $5$ .

$f (5) = 25 - 45 + 9$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $45$ из $25$ .

$f (5) = - 20 + 9$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 20$ и $9$ .

$f (5) = - 11$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 11$ .

$- 11$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $- 11$ .

$y = - 11$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 + 9$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 36 - 9 \cdot 6 + 9$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 9$ на $6$ .

$f (6) = 36 - 54 + 9$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $54$ из $36$ .

$f (6) = - 18 + 9$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 18$ и $9$ .

$f (6) = - 9$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $- 9$ .

$y = - 9$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 9 \\ \frac{9}{2} & - \frac{45}{4} \\ 5 & - 11 \\ 6 & - 9 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{9}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{9}{2}, - 11)$

Ось симметрии: $x = \frac{9}{2}$

Директриса: $y = - \frac{23}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 9 \\ \frac{9}{2} & - \frac{45}{4} \\ 5 & - 11 \\ 6 & - 9 \end{array}$

Этап 4