Основы алгебры Примеры

$x^{2} - 8 x + y^{2} - 6 y - 24 = 0$

Этап 1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 8 x + y^{2} - 6 y = 24$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Этап 3

Подставим ${(x - 4)}^{2} - 16$ вместо $x^{2} - 8 x$ в уравнение $x^{2} - 8 x + y^{2} - 6 y = 24$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} - 6 y = 24$

Этап 4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} - 6 y = 24 + 16$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $36$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 3)}^{2} - 9$ .

${(y - 3)}^{2} - 9$

Этап 6

Подставим ${(y - 3)}^{2} - 9$ вместо $y^{2} - 6 y$ в уравнение $x^{2} - 8 x + y^{2} - 6 y = 24$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - 9 = 24 + 16$

Этап 7

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 24 + 16 + 9$

Этап 8

Упростим $24 + 16 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $24$ и $16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 40 + 9$

Этап 8.2

Добавим $40$ и $9$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 49$

Этап 9

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 10

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 7$

$h = 4$

$k = 3$

Этап 11

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(4, 3)$

Этап 12

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(4, 3)$

Радиус: $7$

Этап 13