Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 13}{x - 20} > 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 13}{x - 20} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 \cdot \frac{x - 20}{x - 20} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} + \frac{- 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 13 - 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 13 - 3 x - 3 \cdot - 20}{x - 20} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 3$ на $- 20$ .

$\frac{x - 13 - 3 x + 60}{x - 20} > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 x - 13 + 60}{x - 20} > 0$

Этап 2.4.4

Добавим $- 13$ и $60$ .

$\frac{- 2 x + 47}{x - 20} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 47}{x - 20} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $47$ в виде $- 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 47)}{x - 20} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (2 x - 47)$ в виде $- 1 (2 x - 47)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x - 47}{x - 20} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x - 47 = 0$

$x - 20 = 0$

Этап 4

Добавим $47$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 47$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = 47$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = 47$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{47}{2}$

Этап 6

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$x = 20$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{47}{2}$

$x = 20$

Этап 8

Объединим решения.

$x = \frac{47}{2}, 20$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{2 x - 47}{x - 20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 47}{x - 20}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 20 = 0$

Этап 9.2

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$x = 20$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 20) \cup (20, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 20$

$20 < x < \frac{47}{2}$

$x > \frac{47}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 20$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 20$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 13}{(0) - 20} > 3$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.65$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $20 < x < \frac{47}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $20 < x < \frac{47}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 22$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $22$ в исходном неравенстве.

$\frac{(22) - 13}{(22) - 20} > 3$

Этап 11.2.3

Левая часть $4.5$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{47}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{47}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 26$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $26$ в исходном неравенстве.

$\frac{(26) - 13}{(26) - 20} > 3$

Этап 11.3.3

Левая часть $2.1\overline{6}$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 20$ Ложь

$20 < x < \frac{47}{2}$ Истина

$x > \frac{47}{2}$ Ложь

$x < 20$ Ложь

$20 < x < \frac{47}{2}$ Истина

$x > \frac{47}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$20 < x < \frac{47}{2}$

Этап 13