Основы алгебры Примеры

$y^{2} + x + 10 y + 26 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 10 y + 26 = - y^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$x + 26 = - y^{2} - 10 y$

Этап 1.3

Вычтем $26$ из обеих частей уравнения.

$x = - y^{2} - 10 y - 26$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- y^{2} - 10 y - 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = - 26$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Этап 2.1.1.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 5$ в виде $- - 5$ .

$d = - - 5$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$d = 5$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 26 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$e = - 26 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = - 26 - \frac{100}{- 4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $100$ на $- 4$ .

$e = - 26 - - 25$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$e = - 26 + 25$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $- 26$ и $25$ .

$e = - 1$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$- {(y + 5)}^{2} - 1$

Этап 2.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - {(y + 5)}^{2} - 1$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = - 5$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{4}, - 5)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 5$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 1, - 5)$

Фокус: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Ось симметрии: $y = - 5$

Директриса: $x = - \frac{3}{4}$

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 1, - 5)$

Фокус: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Ось симметрии: $y = - 5$

Директриса: $x = - \frac{3}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = - 5 + \sqrt{- x - 1}$ . В данном случае получится точка $(- 3, - 3.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{- (- 3) - 1}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{3 - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{2}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $- 5 + \sqrt{2}$ .

$y = - 5 + \sqrt{2}$

Этап 3.1.3

Преобразуем $- 5 + \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= - 3.58578643$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = - 5 - \sqrt{- x - 1}$ . В данном случае получится точка $(- 3, - 6.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{- (- 3) - 1}$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{3 - 1}$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{2}$

Этап 3.2.2.2

Окончательный ответ: $- 5 - \sqrt{2}$ .

$y = - 5 - \sqrt{2}$

Этап 3.2.3

Преобразуем $- 5 - \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= - 6.41421356$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = - 5 + \sqrt{- x - 1}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{- (- 2) - 1}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{2 - 1}$

Этап 3.3.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{1}$

Этап 3.3.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = - 5 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$f (- 2) = - 4$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 3.3.3

Преобразуем $- 4$ в десятичное представление.

$= - 4$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = - 5 - \sqrt{- x - 1}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{- (- 2) - 1}$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{2 - 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{1}$

Этап 3.4.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = - 5 - 1 \cdot 1$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 2) = - 5 - 1$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $1$ из $- 5$ .

$f (- 2) = - 6$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 3.4.3

Преобразуем $- 6$ в десятичное представление.

$= - 6$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 3.59 \\ - 3 & - 6.41 \\ - 2 & - 4 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- 1, - 5)$

Фокус: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Ось симметрии: $y = - 5$

Директриса: $x = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 3.59 \\ - 3 & - 6.41 \\ - 2 & - 4 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \end{array}$

Этап 5