Основы алгебры Примеры

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

Этап 1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

Этап 3.2.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- x^{2})$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

Этап 3.2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $4 (1 + x) (1 - x)$ в виде $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

Этап 3.2.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

Этап 3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Этап 3.2.1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Этап 3.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Запишем $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 4.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.3

Найдем область определения $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем область определения $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.3.1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 1$

Этап 4.3.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Этап 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Этап 4.3.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Этап 4.3.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.5.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \leq 1$

Этап 4.3.1.2.6

Запишем $| x | \leq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.3.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 1$

Этап 4.3.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.3.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 1$

Этап 4.3.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.3.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Этап 4.3.1.2.8

Решим $- x \leq 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.3.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.8.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \geq - 1$

Этап 4.3.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Этап 4.3.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 4.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 1]$

Этап 4.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $[- 1, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Этап 4.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 4.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.6

Найдем область определения $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Найдем область определения $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Упростим $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.6.1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 1$

Этап 4.6.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Этап 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Этап 4.6.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Этап 4.6.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.5.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \leq 1$

Этап 4.6.1.2.6

Запишем $| x | \leq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.6.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 1$

Этап 4.6.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.6.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 1$

Этап 4.6.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.6.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Этап 4.6.1.2.8

Решим $- x \leq 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.8.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.8.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \geq - 1$

Этап 4.6.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Этап 4.6.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 4.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 1]$

Этап 4.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq y < 0$

Этап 4.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

Этап 5

Найдем пересечение $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и $0 \leq y \leq 1$ .

Нет решения

Этап 6

Решим $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ , когда $- 1 \leq y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Этап 6.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ в виде $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 6.2

Найдем пересечение $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и $- 1 \leq y < 0$ .

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

Этап 7

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Этап 8