Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 9}{x + 6} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 9$

$x = - 6$

Этап 5

Объединим решения.

$x = 9, - 6$

Этап 6

Найдем область определения $\frac{x - 9}{x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 9}{x + 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 6 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 9$

$x > 9$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) - 9}{(- 8) + 6} < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $8.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 9}{(0) + 6} < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{(12) - 9}{(12) + 6} < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 < x < 9$

Этап 10