Основы алгебры Примеры

$y^{2} - 4 y = 2 x + 4$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $2 x + 4 = y^{2} - 4 y$ .

$2 x + 4 = y^{2} - 4 y$

Этап 2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x = y^{2} - 4 y - 4$

Этап 3

Разделим каждый член $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 y}{1} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.1.1.2.4

Разделим $- 2 y$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.1.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$

Этап 4

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Этап 4.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 4.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 4.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Этап 4.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{2}$

Этап 4.1.1.4.2.1.4

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - 2 - 1 \cdot 2$

Этап 4.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = - 2 - 2$

Этап 4.1.1.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$e = - 4$

Этап 4.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$

Этап 4.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Этап 4.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 4$

$k = 2$

Этап 4.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Этап 4.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 4.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 4.5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 4.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{7}{2}, 2)$

Этап 4.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 2$

Этап 4.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 4.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 4.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{9}{2}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{9}{2}$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . В данном случае получится точка $(- 3, 3.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Этап 5.1.2.1.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Этап 5.1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{2}$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Этап 5.1.3

Преобразуем $2 + \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 3.41421356$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . В данном случае получится точка $(- 3, 0.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Этап 5.2.2.1.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{2}$

Этап 5.2.2.2

Окончательный ответ: $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Этап 5.2.3

Преобразуем $2 - \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 0.58578643$

Этап 5.3

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Этап 5.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Этап 5.3.2.1.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{4}$

Этап 5.3.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = 2 + 2$

Этап 5.3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f (- 2) = 4$

Этап 5.3.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 5.3.3

Преобразуем $4$ в десятичное представление.

$= 4$

Этап 5.4

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Этап 5.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Этап 5.4.2.1.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{4}$

Этап 5.4.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.4.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = 2 - 1 \cdot 2$

Этап 5.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- 2) = 2 - 2$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- 2) = 0$

Этап 5.4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 5.4.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$= 0$

Этап 5.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Этап 6

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 4, 2)$

Фокус: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Ось симметрии: $y = 2$

Директриса: $x = - \frac{9}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Этап 7