Основы алгебры Примеры

$y^{2} = x + 121$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x + 121 = y^{2}$ .

$x + 121 = y^{2}$

Этап 2

Вычтем $121$ из обеих частей уравнения.

$x = y^{2} - 121$

Этап 3

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} - 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 121$

Этап 3.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Этап 3.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{1}$

Этап 3.1.1.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$d = 0$

Этап 3.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 121 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = - 121 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - 121 - \frac{0}{4}$

Этап 3.1.1.4.2.1.3

Разделим $0$ на $4$ .

$e = - 121 - 0$

Этап 3.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = - 121 + 0$

Этап 3.1.1.4.2.2

Добавим $- 121$ и $0$ .

$e = - 121$

Этап 3.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 0)}^{2} - 121$ .

${(y + 0)}^{2} - 121$

Этап 3.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y + 0)}^{2} - 121$

Этап 3.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 121$

$k = 0$

Этап 3.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 3.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 121, 0)$

Этап 3.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 3.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 3.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 3.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 3.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{483}{4}, 0)$

Этап 3.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 0$

Этап 3.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 3.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{485}{4}$

Этап 3.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 121, 0)$

Фокус: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{485}{4}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 121, 0)$

Фокус: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{485}{4}$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 120$ в $f (x) = \sqrt{x + 121}$ . В данном случае получится точка $(- 120, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 120$ .

$f (- 120) = \sqrt{(- 120) + 121}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $- 120$ и $121$ .

$f (- 120) = \sqrt{1}$

Этап 4.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 120) = 1$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 4.1.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$= 1$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 120$ в $f (x) = - \sqrt{x + 121}$ . В данном случае получится точка $(- 120, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 120$ .

$f (- 120) = - \sqrt{(- 120) + 121}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 120$ и $121$ .

$f (- 120) = - \sqrt{1}$

Этап 4.2.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 120) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 120) = - 1$

Этап 4.2.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 4.2.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$= - 1$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $- 119$ в $f (x) = \sqrt{x + 121}$ . В данном случае получится точка $(- 119, 1.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 119$ .

$f (- 119) = \sqrt{(- 119) + 121}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $- 119$ и $121$ .

$f (- 119) = \sqrt{2}$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Этап 4.3.3

Преобразуем $\sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= 1.41421356$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $- 119$ в $f (x) = - \sqrt{x + 121}$ . В данном случае получится точка $(- 119, - 1.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 119$ .

$f (- 119) = - \sqrt{(- 119) + 121}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $- 119$ и $121$ .

$f (- 119) = - \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Этап 4.4.3

Преобразуем $- \sqrt{2}$ в десятичное представление.

$= - 1.41421356$

Этап 4.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 121 & 0 \\ - 120 & 1 \\ - 120 & - 1 \\ - 119 & 1.41 \\ - 119 & - 1.41 \end{array}$

Этап 5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 121, 0)$

Фокус: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{485}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 121 & 0 \\ - 120 & 1 \\ - 120 & - 1 \\ - 119 & 1.41 \\ - 119 & - 1.41 \end{array}$

Этап 6