Основы алгебры Примеры

$- 1 < \frac{2 x \cdot x - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Этап 1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $x$ .

$- 1 < \frac{2 (x \cdot x) - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 1 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Этап 2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 1 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} < 1$

Этап 3

Умножим каждый член неравенства на $x^{2} - 2 x + 3$ .

$- (x^{2} - 2 x + 3) < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 \cdot 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- x^{2} + 2 x - 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + 2 x - 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 2 x - 3 < 2 x^{2} - 3 x - 1 < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 7

Умножим $x^{2} - 2 x + 3$ на $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 3 < 2 x^{2} - 3 x - 1 < x^{2} - 2 x + 3$

Этап 8

Перенесем все члены без $x$ из средней части неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $1$ к каждой части неравенства, поскольку оно не содержит переменной, относительно которой мы пытаемся его решить.

$- x^{2} + 2 x - 3 + 1 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 3 + 1$

Этап 8.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 3 + 1$

Этап 8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 4$

Этап 9

Разделим каждый член неравенства на $2$ .

$\frac{- x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 10.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 10.3

Разделим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 11.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 12.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{4}{2}$

Этап 12.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{4}{2}$

Этап 12.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{4}{2}$

Этап 12.1.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{4}{2}$

Этап 12.2

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} - x + 2$

Этап 13

Чтобы выделить одну переменную $x$ , возьмем корень степени $2$ из каждого выражения.

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + x - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 14

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 15

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{- x^{2} + x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 17

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x (- x) + x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 17.2

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2$ .

$\sqrt{\frac{x (- x) + x (2)}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 17.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x (2)$ .

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 18

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 19

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 19.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x (- x + 2) - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{x (- x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{\frac{- x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\sqrt{\frac{- x \cdot x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Перенесем $x$ .

$\sqrt{\frac{- (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 20.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 21

Перепишем $\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 22

Умножим $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 23.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 24

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(- x^{2} + 2 x - 2) \cdot 2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 25

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt{(- x^{2} + 2 x - 2) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 26

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - \frac{3 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x \cdot x - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 26.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x \cdot x + x (- \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 26.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- \frac{3}{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (x - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 27

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 28

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 28.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{x \cdot 2 - 3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 29

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{2 x - 3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 30

Объединим $x$ и $\frac{2 x - 3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{\frac{x (2 x - 3)}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 31

Перепишем $\sqrt{\frac{x (2 x - 3)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 32

Умножим $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1

Умножим $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 33.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 34

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3) \cdot 2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 35

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt{x (2 x - 3) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Этап 36

Умножим каждый член неравенства на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} \cdot 2 < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Этап 37

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} \cdot 2 < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Этап 37.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Этап 38

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 38.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Этап 38.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Этап 39

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 40

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 40.1

Объединим $- x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 40.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 41

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 41.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 41.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 41.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 41.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 41.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Этап 42

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 2$

Этап 43

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Этап 43.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Этап 44

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Этап 44.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Этап 44.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Этап 44.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 4}{2}} \cdot 2$

Этап 45

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 4}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}} \cdot 2$

Этап 46

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 2$

Этап 47

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Этап 47.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Этап 47.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Этап 47.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 2$

Этап 47.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 2$

Этап 47.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2$

Этап 47.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 2$

Этап 47.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Этап 47.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Этап 47.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2} \cdot 2$

Этап 47.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2} \cdot 2$

Этап 48

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}}{2} \cdot 2$

Этап 49

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}}{2} \cdot 2$

Этап 49.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}$

Этап 50

Изменим порядок множителей в $\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{2 (x^{2} - 2 x + 4)}$

Этап 51