Основы алгебры Примеры

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $54$ к обеим частям уравнения.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Этап 1.1.2

Добавим $161$ к обеим частям уравнения.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Этап 1.1.3

Добавим $54$ и $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $16 x^{2} + 64 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{32}{16}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $32$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4096$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Этап 1.3

Подставим $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ вместо $16 x^{2} + 64 x$ в уравнение $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Этап 1.4

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Этап 1.5

Добавим $215$ и $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $279$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 2, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $9$ на $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Этап 5.3.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Этап 5.3.4

Чтобы записать $31$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Этап 5.3.5

Объединим $31$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Умножим $31$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Этап 5.3.7.2

Добавим $279$ и $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{775}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Перепишем $775$ в виде $5^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1.1

Вынесем множитель $25$ из $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3.9.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $9$ на $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.4.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $31$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.6

Объединим $31$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Умножим $31$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.8.2

Добавим $279$ и $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{775}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Перепишем $775$ в виде $5^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1.1

Вынесем множитель $25$ из $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.10.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Сократим общий множитель $\sqrt{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{31}$ из $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Этап 8.3.12.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{31}$ из $3 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Этап 8.3.12.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Этап 8.3.12.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Этап 8.3.12.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Этап 8.3.12.2.2

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{1}{3})$

Этап 8.3.12.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель ${\sqrt{31}}^{2}$ и $\sqrt{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{31}$ из ${\sqrt{31}}^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{31}$ из $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Этап 9.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{31}}{5}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Этап 11.2

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Добавим $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ и $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Этап 11.2.4

Умножим $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Добавим $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ и $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Этап 12.2.4

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Этап 12.2.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 12.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 12.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 2, 0)$

Вершины: $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Фокусы: $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15