Основы алгебры Примеры

$- 16 x^{2} + 96 x - 144 + 4 y^{2} - 32 y = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $144$ к обеим частям уравнения.

$- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 16 x^{2} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $96$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{48}{- 16}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $48$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $96$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $9216$ на $- 64$ .

$e = 0 - - 144$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $144$ .

$e = 144$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$

Этап 1.3

Подставим $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ вместо $- 16 x^{2} + 96 x$ в уравнение $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144 + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Этап 1.4

Перенесем $144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 32 y = 144 - 144$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} - 32 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 16}{4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64$

Этап 1.6

Подставим $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ вместо $4 y^{2} - 32 y$ в уравнение $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} - 64 = 144 - 144$

Этап 1.7

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 144 - 144 + 64$

Этап 1.8

Упростим $144 - 144 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вычтем $144$ из $144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 0 + 64$

Этап 1.8.2

Добавим $0$ и $64$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 64$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $64$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(3, 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Этап 5.3.3

Добавим $16$ и $4$ .

$\sqrt{20}$

Этап 5.3.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 8)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(3, 8), (3, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $16$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $2^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Этап 11.2

Упростим $2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = 2 \cdot (x - 3) + 4$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 3 + 4$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = 2 x - 6 + 4$

Этап 11.2.2

Добавим $- 6$ и $4$ .

$y = 2 x - 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Этап 12.2

Упростим $- 2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 2 \cdot (x - 3) + 4$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3 + 4$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$y = - 2 x + 6 + 4$

Этап 12.2.2

Добавим $6$ и $4$ .

$y = - 2 x + 10$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = 2 x - 2, y = - 2 x + 10$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(3, 4)$

Вершины: $(3, 8), (3, 0)$

Фокусы: $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Асимптоты: $y = 2 x - 2$ , $y = - 2 x + 10$

Этап 15