Основы алгебры Примеры

12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ не определено.

x \leq 0

$x \leq 0$

Этап 2

Поскольку

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ слева, а

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ справа, то

x = 0

$x = 0$ — вертикальная асимптота.

x = 0

$x = 0$

Этап 3

Поскольку предел не существует, горизонтальных асимптот нет.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 4

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать

12 x^{2}

$12 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12

$12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.1.2

Вынесем множитель

12

$12$ из

12

$12$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.1.3

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)

$12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2

Умножим

x^{2}

$x^{2}$ на

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2.2

Чтобы записать

2

$2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2.3

Объединим

2

$2$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.5.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.3.2.5.2

Добавим

4

$4$ и

1

$1$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.4

Чтобы записать

24 x^{\frac{1}{2}}

$24 x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

$12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель

12

$12$ из

24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

$24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})

$12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.2

Умножим

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ на

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Перенесем

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.2.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.2.5

Разделим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.3

Упростим

2 x^{1}

$2 x^{1}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.6.4

Изменим порядок членов.

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.7

Упростим.

\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель

12

$12$ из

24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12

$24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель

12

$12$ из

24 x

$24 x$ .

\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 x^{\frac{5}{2}}

$12 x^{\frac{5}{2}}$ .

\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель

12

$12$ из

12

$12$ .

\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})

$12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})$ .

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель

12

$12$ из

12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)

$12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)$ .

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

x = 0

$x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты:

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6