Основы алгебры Примеры

$18 x^{2} - 11 x + 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $18 x^{2} - 11 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 18$

$b = - 11$

$c = 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 11}{2 \cdot 18}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Умножим $2$ на $18$ .

$d = \frac{- 11}{36}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{11}{36}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 11)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{121}{4 \cdot 18}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $18$ .

$e = 1 - \frac{121}{72}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e = \frac{72}{72} - \frac{121}{72}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{72 - 121}{72}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Вычтем $121$ из $72$ .

$e = \frac{- 49}{72}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{49}{72}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$ .

$18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 18$

$h = \frac{11}{36}$

$k = - \frac{49}{72}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 18}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $18$ .

$\frac{1}{72}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{11}{36}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{25}{36}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Фокус: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{36}$

Директриса: $y = - \frac{25}{36}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Фокус: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{36}$

Директриса: $y = - \frac{25}{36}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 18 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 18 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $18$ на $1$ .

$f (1) = 18 - 11 \cdot 1 + 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$f (1) = 18 - 11 + 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $11$ из $18$ .

$f (1) = 7 + 1$

Этап 2.2.2.2

Добавим $7$ и $1$ .

$f (1) = 8$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $8$ .

$y = 8$

Этап 2.4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{11}{36} & - \frac{49}{72} \\ 1 & 8 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Фокус: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{36}$

Директриса: $y = - \frac{25}{36}$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{11}{36} & - \frac{49}{72} \\ 1 & 8 \end{array}$

Этап 4