Основы алгебры Примеры

$- 2 x^{2} - 2 x - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = - 2$

$c = - 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- 2)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 2)}^{2}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из ${(- 2)}^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{- 2 \cdot - 2}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $4 \cdot - 2$ .

$e = - 1 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{1}{- 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 1 - - \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 1.1.1.4.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = \frac{- 2 + 1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.5.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$e = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{1}{2}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$- 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 2$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{8})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{3}{8}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{3}{8}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{3}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 - 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- 1) = 0 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 1$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 1$

Этап 2.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 2 \cdot - 2 - 1$

Этап 2.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 \cdot - 2 - 1$

Этап 2.5.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 2 \cdot - 2 - 1$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 - 1$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $- 8$ и $4$ .

$f (- 2) = - 4 - 1$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f (- 2) = - 5$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 - 1$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f (1) = - 4 - 1$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f (1) = - 5$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 1$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 1$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (2) = - 8 - 2 \cdot 2 - 1$

Этап 2.11.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = - 8 - 4 - 1$

Этап 2.11.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $4$ из $- 8$ .

$f (2) = - 12 - 1$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $1$ из $- 12$ .

$f (2) = - 13$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 13$ .

$- 13$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 13$ .

$y = - 13$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 13 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Фокус: $(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{3}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 13 \end{array}$

Этап 4