Основы алгебры Примеры

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y - 19 = 0$

Этап 1

Добавим $19$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y = 19$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 3.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 3.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 3.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Этап 4

Подставим ${(x - 2)}^{2} - 4$ вместо $x^{2} - 4 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2}$

Этап 5

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2} + 4$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 6.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 7

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = \frac{19}{2} + 4$

Этап 8

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + 4 + 4$

Этап 9

Упростим $\frac{19}{2} + 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + 4$

Этап 9.1.4

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1}$

Этап 9.1.5

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.1.6

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 9.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 8}{2}$

Этап 9.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Добавим $19$ и $8$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{27 + 8}{2}$

Этап 9.4.2

Добавим $27$ и $8$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{35}{2}$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{\sqrt{70}}{2}$

$h = 2$

$k = - 2$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(2, - 2)$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(2, - 2)$

Радиус: $\frac{\sqrt{70}}{2}$

Этап 14