Основы алгебры Примеры

$| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$

Этап 1

Запишем $| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \geq 0$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Этап 1.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Этап 1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Этап 1.2.1.3.3

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} \geq 0$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.5.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} \geq 0$

Этап 1.2.1.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{12} \geq 0$

Этап 1.2.2

Умножим обе части на $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Этап 1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Этап 1.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \geq 0 \cdot 12$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $0$ на $12$ .

$x \geq 0$

Этап 1.3

В части, где $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} < 0$

Этап 1.5.1.2

Чтобы записать $- \frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Этап 1.5.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Этап 1.5.1.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Этап 1.5.1.3.3

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} < 0$

Этап 1.5.1.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} < 0$

Этап 1.5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} < 0$

Этап 1.5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} < 0$

Этап 1.5.1.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Этап 1.5.1.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Этап 1.5.1.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} < 0$

Этап 1.5.1.5.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} < 0$

Этап 1.5.1.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{12} < 0$

Этап 1.5.2

Умножим обе части на $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Этап 1.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x < 0 \cdot 12$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $0$ на $12$ .

$x < 0$

Этап 1.6

В части, где $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Чтобы записать $- \frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.3.3

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5.1.3

Вычтем $3$ из $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Чтобы записать $- \frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.3.3

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.5.3

Вычтем $3$ из $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.9.6

Умножим $x$ на $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{x}{12} - 1 < 0$ , когда $x \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{x}{12} - 1 < 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$\frac{x}{12} < 1$

Этап 2.1.2

Умножим обе части на $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Этап 2.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x < 1 \cdot 12$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Умножим $12$ на $1$ .

$x < 12$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < 12$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 12$

Этап 3

Решим $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$- \frac{x}{12} < 1$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- \frac{x}{12} < 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x}{12} < 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x}{12}}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x}{12}}{1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $\frac{x}{12}$ на $1$ .

$\frac{x}{12} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{x}{12} > - 1$

Этап 3.1.3

Умножим обе части на $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Этап 3.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x > - 1 \cdot 12$

Этап 3.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$x > - 12$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - 12$ и $x < 0$ .

$- 12 < x < 0$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 12 < x < 12$

Этап 5