Основы алгебры Примеры

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{x^{12}}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 3.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Этап 3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 3.1.3.5

Разделим $| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} | \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$ стремится к $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7