Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{5 + x^{2}}{7 \sqrt{x}} - 7 x \sqrt{x}}{{(5 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x {(5 + x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

Этап 3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

Этап 3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 {(5 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{7 {(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Вынесем член $\frac{1}{7}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в ${(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{\sqrt{x} {(5 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48 x^{2}}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 48 x^{2}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.2

Перепишем ${(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}$ в виде $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Этап 3.7

Развернем $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} (\frac{5}{x^{2}} + 1) + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Объединим.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2 + 2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.4

Умножим $\frac{5}{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $\frac{5}{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Этап 3.8.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Этап 3.8.2

Добавим $\frac{5}{x^{2}}$ и $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + 2 \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Этап 3.9

Умножим $2 \frac{5}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $2$ и $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 1)}$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 1)}$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} \frac{25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим $\sqrt{x}$ и $\frac{25}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Этап 3.11.2

Объединим $\sqrt{x}$ и $\frac{10}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Этап 3.11.3

Умножим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

Этап 3.12

Упростим каждый член.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

Этап 3.13

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot 0$

Этап 3.14

Умножим $\frac{1}{7}$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7