Основы алгебры Примеры

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Этап 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Этап 2

Перепишем $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ в виде $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ .

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Этап 3

Развернем $\ln (5^{2 x - 3})$ , вынося $2 x - 3$ из логарифма.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Этап 4

Избавимся от скобок.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ в виде $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ .

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Этап 6

Развернем $\ln (3^{x + 2})$ , вынося $x + 2$ из логарифма.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Этап 7

Избавимся от скобок.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8

Решим неравенство относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8.1.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8.1.2

Изменим порядок $\ln (3)$ и $- 2 x \ln (5)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Этап 8.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Этап 8.2.2

Изменим порядок $\ln (5)$ и $- x \ln (3)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.1.3

Упростим $3 \ln (5)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.1.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.3

Умножим $3$ на $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.3.1.4

Изменим порядок множителей в $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Этап 8.4.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Этап 8.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Этап 8.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Этап 8.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Этап 8.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Этап 8.7.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $375$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Этап 8.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Этап 8.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Этап 8.7.3

Умножим $75$ на $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Этап 8.8

Вычтем $\ln (675)$ из обеих частей уравнения.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Этап 8.9

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (25) + x \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (25)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Этап 8.9.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Этап 8.9.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Этап 8.10

Перепишем $- 1 \ln (25)$ в виде $- \ln (25)$ .

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Этап 8.11

Разделим каждый член $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ на $- \ln (25) + \ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Разделим каждый член $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ на $- \ln (25) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Этап 8.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (25) + \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Этап 8.11.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Этап 8.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Этап 8.11.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (25)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Этап 8.11.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Этап 8.11.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Этап 8.11.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.3.5.1

Перепишем $- (\ln (25) - \ln (3))$ в виде $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Этап 8.11.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Этап 8.11.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Этап 8.11.3.5.4

Умножим $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Этап 10