Основы алгебры Примеры

${| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ лежит в точке $(3, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $1 - \frac{x}{3}$ равным $0$ . В данном случае $1 - \frac{x}{3} = 0$ .

$1 - \frac{x}{3} = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $1 - \frac{x}{3} = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{3} = - 1$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{x}{3}) = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 3 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

Этап 1.4

Упростим ${| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

Этап 1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = {| 1 - 1 \cdot 1 |}^{3}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = {| 1 - 1 |}^{3}$

Этап 1.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = {| 0 |}^{3}$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0^{3}$

Этап 1.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(3, 0)$ .

$(3, 0)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ . В данном случае получится точка $(1, \frac{8}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {| 1 - \frac{1}{3} |}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (1) = {| \frac{3}{3} - \frac{1}{3} |}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = {| \frac{3 - 1}{3} |}^{3}$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (1) = {| \frac{2}{3} |}^{3}$

Этап 3.1.2.4

$\frac{2}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{6}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (1) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.1.2.5

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (1) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Этап 3.1.2.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (1) = \frac{8}{3^{3}}$

Этап 3.1.2.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (1) = \frac{8}{27}$

Этап 3.1.2.8

Окончательный ответ: $\frac{8}{27}$ .

$y = \frac{8}{27}$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ . В данном случае получится точка $(2, \frac{1}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {| 1 - \frac{2}{3} |}^{3}$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (2) = {| \frac{3}{3} - \frac{2}{3} |}^{3}$

Этап 3.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = {| \frac{3 - 2}{3} |}^{3}$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (2) = {| \frac{1}{3} |}^{3}$

Этап 3.2.2.4

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (2) = {(\frac{1}{3})}^{3}$

Этап 3.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (2) = \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Этап 3.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$f (2) = \frac{1}{3^{3}}$

Этап 3.2.2.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{1}{27}$

Этап 3.2.2.8

Окончательный ответ: $\frac{1}{27}$ .

$y = \frac{1}{27}$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $5$ в $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ . В данном случае получится точка $(5, \frac{8}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = {| 1 - \frac{5}{3} |}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (5) = {| \frac{3}{3} - \frac{5}{3} |}^{3}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = {| \frac{3 - 5}{3} |}^{3}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $5$ из $3$ .

$f (5) = {| \frac{- 2}{3} |}^{3}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (5) = {| - \frac{2}{3} |}^{3}$

Этап 3.3.2.5

$- \frac{2}{3}$ приблизительно равно $- 0.\overline{6}$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{2}{3}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (5) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.6

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (5) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Этап 3.3.2.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (5) = \frac{8}{3^{3}}$

Этап 3.3.2.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (5) = \frac{8}{27}$

Этап 3.3.2.9

Окончательный ответ: $\frac{8}{27}$ .

$y = \frac{8}{27}$

Этап 3.4

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(3, 0), (1, 0.3), (2, 0.04), (4, 0.04), (5, 0.3)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.3 \\ 2 & 0.04 \\ 3 & 0 \\ 4 & 0.04 \\ 5 & 0.3 \end{array}$

Этап 4