Основы алгебры Примеры

$\frac{6 z^{3} + 13 z^{2} - 4 z + 4}{z + \frac{1}{6}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$ не определено.

$x = - \frac{1}{6}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $6$ из $36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $6$ из $36 x^{3}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $6$ из $78 x^{2}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 24 x$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 24}{6 x + 1}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2})$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $6$ из $6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Этап 5.1.7

Вынесем множитель $6$ из $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$

Этап 5.2

Развернем $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.5

Избавимся от скобок.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.6

Избавимся от скобок.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.7

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{36 x^{3} + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.8

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.9

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Этап 5.2.10

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$6 x$

$1$

$36 x^{3}$

$78 x^{2}$

$24 x$

$24$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $36 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x$ .

					$6 x^{2}$
	$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			+	$36 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $36 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $72 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$72 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $72 x^{2} + 12 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$

Этап 5.13

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Этап 5.14

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 36 x$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Этап 5.15

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							-	$36 x$	-	$6$

Этап 5.16

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 36 x - 6$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$

Этап 5.17

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$
									+	$30$

Этап 5.18

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$6 x^{2} + 12 x - 6 + \frac{30}{6 x + 1}$

Этап 5.19

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{1}{6}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Этап 7