Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 33}{x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 33}{x + 3}$ не определено.

$x = - 3$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 12 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 17 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$17$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$33$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
									-	$17 x$	-	$33$
									-	$17 x$	-	$51$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 17 x - 51$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

$17 x$

$51$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

$17 x$

$51$

$18$

Этап 5.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} + x^{2} + 4 x - 17 + \frac{18}{x + 3}$

Этап 5.22

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x^{3} + x^{2} + 4 x - 17$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x^{3} + x^{2} + 4 x - 17$

Этап 7