Основы алгебры Примеры

$(3 m^{4} - 8 m^{3} + 10 m + 4) \div (m - 2)$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 10 x + 4}{x - 2}$ не определено.

$x = 2$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} - 6 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$4$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$4$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$4$

$2 x$

$4$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 4$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$4$

$2 x$

$4$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$4$

$3 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$4$

$2 x$

$4$

$8$

Этап 5.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 + \frac{8}{x - 2}$

Этап 5.22

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2$

Этап 7