Основы алгебры Примеры

$\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1}{2}, 2$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 2) (2 (- 2) - 1)}{(- 2) - 2} < 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0.25) (2 (0.25) - 1)}{(0.25) - 2} < 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $0.\overline{142857}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (1) (2 (1) - 1)}{(1) - 2} < 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (4) (2 (4) - 1)}{(4) - 2} < 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $28$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $\frac{1}{2} < x < 2$

Этап 12