Основы алгебры Примеры

$\sqrt{5 x + 19} + 4 = z + 3$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $y + 3 = \sqrt{5 x + 19} + 4$ .

$y + 3 = \sqrt{5 x + 19} + 4$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt{5 x + 19} + 4 - 3$

Этап 1.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$y = \sqrt{5 x + 19} + 1$

Этап 2

Найдем область определения $\sqrt{5 x + 19} + 4 = z + 3$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 x + 19}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 x + 19 \geq 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $19$ из обеих частей неравенства.

$5 x \geq - 19$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $5 x \geq - 19$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $5 x \geq - 19$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- 19}{5}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- 19}{5}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 19}{5}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{19}{5}$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{19}{5}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - \frac{19}{5}}$

Интервальное представление:

$[- \frac{19}{5}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - \frac{19}{5}}$

Этап 3

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $- \frac{19}{5}$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \sqrt{5 x + 19} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{19}{5}$ .

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{5 (- \frac{19}{5}) + 19} + 1$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{19}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{5 (\frac{- 19}{5}) + 19} + 1$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{5 (\frac{- 19}{5}) + 19} + 1$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{- 19 + 19} + 1$

Этап 3.2.1.2

Добавим $- 19$ и $19$ .

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{0} + 1$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- \frac{19}{5}) = \sqrt{0^{2}} + 1$

Этап 3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{19}{5}) = 0 + 1$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (- \frac{19}{5}) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4

Конечная точка подкоренного выражения: $(- \frac{19}{5}, 1)$ .

$(- \frac{19}{5}, 1)$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = \sqrt{5 x + 19} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 3, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{5 (- 3) + 19} + 1$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{- 15 + 19} + 1$

Этап 5.1.2.1.2

Добавим $- 15$ и $19$ .

$f (- 3) = \sqrt{4} + 1$

Этап 5.1.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Этап 5.1.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 3) = 2 + 1$

Этап 5.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- 3) = 3$

Этап 5.1.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = \sqrt{5 x + 19} + 1$ . В данном случае получится точка $(- 2, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{5 (- 2) + 19} + 1$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 10 + 19} + 1$

Этап 5.2.2.1.2

Добавим $- 10$ и $19$ .

$f (- 2) = \sqrt{9} + 1$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{3^{2}} + 1$

Этап 5.2.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = 3 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- 2) = 4$

Этап 5.2.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 5.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 3.8, 1), (- 3, 3), (- 2, 4)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3.8 & 1 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & 4 \end{array}$

Этап 6