Основы алгебры Примеры

$\sqrt{2 x - 6} < 4$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 x - 6}}^{2} < 4^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 6}$ в виде ${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 4^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 6)}^{1} < 4^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 x - 6 < 4^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 x - 6 < 16$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $6$ к обеим частям неравенства.

$2 x < 16 + 6$

Этап 3.1.2

Добавим $16$ и $6$ .

$2 x < 22$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x < 22$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x < 22$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{22}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $22$ на $2$ .

$x < 11$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{2 (x - 3)} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (x - 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (x - 3) \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 (x - 3) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разделим каждый член $2 (x - 3) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Разделим $x - 3$ на $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 3 \geq 0$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[3, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 11$

$x > 11$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (0) - 6} < 4$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (7) - 6} < 4$

Этап 6.2.3

Левая часть $2.82842712$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (14) - 6} < 4$

Этап 6.3.3

Левая часть $4.69041575$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$3 < x < 11$

Этап 8