Основы алгебры Примеры

$x^{3} - x^{2} - 56 x < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - x^{2} - 56 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x^{2} - 56 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x^{2} - 56 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) - 56 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 56 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 56 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$x (x^{2} - x) + x \cdot - 56 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - x) + x \cdot - 56$ .

$x (x^{2} - x - 56) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 56$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 56$ , а сумма — $- 1$ .

$- 8, 7$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 8) (x + 7)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 8) (x + 7) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 6

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 8) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 0, 8, - 7$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{3} - {(- 10)}^{2} - 56 \cdot - 10 < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 540$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 56 \cdot - 4 < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $144$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} - {(4)}^{2} - 56 \cdot 4 < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 176$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

${(10)}^{3} - {(10)}^{2} - 56 \cdot 10 < 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $340$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 7$ или $0 < x < 8$

Этап 11